江苏省南通市四星高中2010-2011学年度第二学期高二数学期末研试卷

详细内容

江苏省南通市四星高中2010-2011学年度第二学期高二数学期末研试卷
一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分；将答案填在答题纸上。
1、设集合 ，则 。
2、复数 的共轭复数 。
3、平面上有一组平行线，且相邻平行线间的距离为3cm，把一枚半径为1cm的硬币任意平掷在这个平面上，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率为 。
4、若曲线 在点 处的切线平行于直线 ，则点 的坐标为 。
5、某班有52人，现用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知座位号分别为6，30，42的同学都在样本中，那么样本中另一位同学的座位号是 。
6、已知双曲线 的离心率为 ，
则其渐近线的方程为 。
7、在等比数列 中，若 ，则 的值为 。
8、如图，在 中， ，
若 为 的外心，则 .
9、已知 是偶函数，当 时， ，且当 时，
恒成立，则 的最小值是 。
10、函数 的图象如图所示，
则 。
11. 正方体的八个顶点中有四个恰好为正四面体的顶点，
则正方体的全面积与正四面体的全面积之比为 。
12. 设函数 且 ，
若函数 的值域恰为 ，则实数 的值为 。

13. 已知直线 的方程为 ，圆 则以 为准线，中心在原点，
且与圆 恰好有两个公共点的椭圆方程为 ；
14. 函数 的定义域为 ，若满足：
① 在 内是单调函数；
②存在 ，使 在 上的值域为 . 那么 叫做闭函数，
现有 是闭函数，那么 的取值范围是 。

二、解答题：本大题共6个小题，满分90分。解答时要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
15、（本小题满分14分）
如图，已知 平面 是正三角形， ，且 是 的中点。
（I）求证： 平面 ；
（II）求证：平面 平面 ；

16、（本小题满分14分）
在 中，角 的对边分别为 。
（1）求 的值；
（2）若 ，求 和 的值。

17、如图，直角三角形 的顶点坐标 ，直角顶点 ，顶点 在 轴上，点 为线段 的中点。
（1）求 边所在直线方程；
（2） 为直角三角形 外接圆的圆心，求圆 的方程；
（3）若动圆 多点 且与圆 内切，求动圆 的圆心 的轨迹。

18. 某国由于可耕地面积少，计划从今年起的五年填湖围造一部分生产和生活用地，若填湖飞、购置排水设备费等所需经费与当年所填湖造地面积 （亩）的平方成长正比，其比例系数为 ，设每亩水面的年平均经济效益为 元，填湖造地后的每亩土地的年平均收益为 元（其中 均为常数，且 ）
（1）若按计划填湖造地，且使得今年的收益不少于支出，试求所填面积 的最大值；（支出=造田的所需经费+水面经济收益）
（2）如果填湖造地面积按每年1%的速度减少，为保证水面的蓄洪能力和环保要求，填湖造地的总面积不能超过现有水面面积的25%，求今年填湖造地的面积最多只能占现有水面的百分之几。
注：根据下列近似值进行计算：

19、（本小题满分16分）
已知 ，函数 。
（I）若函数 没有零点，求实数 的取值范围；
（II）若函数 存在极大值，并记为 ，求 的表达式；
（III）当 时，求证： 。

20. 已知在数列 中， ，且点 在直线 上。
（1）求数列 的通项公式；
（2）若函数 ，求函数 的最小值。
（3）若 表示数列 的前 项和，试问：是否存在关于 的整式 ，使得 对一切 的自然数 恒成立？若存在，写出 的解析式并证明，若不存在，请说明理由。