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第十五章 复 数
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考试要求
重难点击
命题展望
1.理解复数的基本概念、复数相等的充要条件.
2.了解复数的代数表示法及其几何意义.
3.会进行复数代数形式的四则运算.了解复数的代数形式的加、减运算及其运算的几何意义.
4.了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想，体会理性思维在数系扩充中的作用.
本章重点：1.复数的有关概念；2.复数代数形式的四则运算.
本章难点：运用复数的有关概念解题.
近几年高考对复数的考查无论是试题的难度，还是试题在试卷中所占比例都是呈下降趋势，常以选择题、填空题形式出现，多为容易题.在复习过程中，应将复数的概念及运算放在首位.
知识网络
15.1 复数的概念及其运算
典例精析
题型一 复数的概念
【例1】 (1)如果复数(m2＋i)(1＋mi)是实数，则实数m＝ ；
(2)在复平面内，复数对应的点位于第 象限；
(3)复数z＝3i＋1的共轭复数为＝ .
【解析】 (1)(m2＋i)(1＋mi)＝m2－m＋(1＋m3)i是实数⇒1＋m3＝0⇒m＝－1.
(2)因为＝＝1－i，所以在复平面内对应的点为(1，－1)，位于第四象限.
(3)因为z＝1＋3i，所以＝1－3i.
【点拨】 运算此类题目需注意复数的代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，并注意复数分为实数、虚数、纯虚数，复数的几何意义，共轭复数等概念.
【变式训练1】(1)如果z＝为纯虚数，则实数a等于( )
A.0 B.－1 C.1 D.－1或1
(2)在复平面内，复数z＝(i是虚数单位)对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【解析】(1)设z＝xi，x≠0，则
xi＝⇔1＋ax－(a＋x)i＝0⇔ ⇔ 或 故选D.
(2)z＝＝(1－i)(－i)＝－1－i，该复数对应的点位于第三象限.故选C.
题型二 复数的相等
【例2】(1)已知复数z0＝3＋2i，复数z满足z・z0＝3z＋z0，则复数z＝ ；
(2)已知＝1－ni，其中m，n是实数，i是虚数单位，则m＋ni＝ ；
(3)已知关于x的方程x2＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0有实根，则这个实根为 ，实数k的值为 .
【解析】(1)设z＝x＋yi(x，y∈R)，又z0＝3＋2i，
代入z・z0＝3z＋z0得(x＋yi)(3＋2i)＝3(x＋yi)＋3＋2i，
整理得 (2y＋3)＋(2－2x)i＝0，
则由复数相等的条件得
解得 所以z＝1－ .
(2)由已知得m＝(1－ni)(1＋i)＝(1＋n)＋(1－n)i.
则由复数相等的条件得
所以m＋ni＝2＋i.
(3)设x＝x0是方程的实根，代入方程并整理得
由复数相等的充要条件得
解得 或
所以方程的实根为x＝或x＝－，
相应的k值为k＝－2或k＝2.
【点拨】复数相等须先化为z＝a＋bi(a，b∈R)的形式，再由相等得实部与实部相等、虚部与虚部相等.
【变式训练2】(1)设i是虚数单位，若＝a＋bi(a，b∈R)，则a＋b的值是( )
A.－ B.－2 C.2 D.
(2)若(a－2i)i＝b＋i，其中a，b∈R，i为虚数单位，则a＋b＝ .
【解析】(1)C.＝＝，于是a＋b＝＋＝2.
(2)3.2＋ai＝b＋i⇒a＝1，b＝2.
题型三 复数的运算
【例3】 (1)若复数z＝－＋i， 则1＋z＋z2＋z3＋…＋z2 008＝ ；
(2)设复数z满足z＋|z|＝2＋i，那么z＝ .
【解析】 (1)由已知得z2＝－－i，z3＝1，z4＝－＋i ＝z.
所以zn具有周期性，在一个周期内的和为0，且周期为3.
所以1＋z＋z2＋z3＋…＋z2 008
＝1＋z＋(z2＋z3＋z4)＋…＋(z2 006＋z2 007＋z2 008)
＝1＋z＝＋i.
(2)设z＝x＋yi(x，y∈R)，则x＋yi＋＝2＋i，
所以 解得 所以z＝ ＋i.
【点拨】 解(1)时要注意x3＝1⇔(x－1)(x2＋x＋1)＝0的三个根为1，ω，，
其中ω＝－＋i，＝－－i， 则
1＋ω＋ω2＝0， 1＋＋2＝0 ，ω3＝1，3＝1，ω・＝1，ω2＝，2＝ω.
解(2)时要注意|z|∈R，所以须令z＝x＋yi.
【变式训练3】(1)复数＋等于( )
A. B. C.－ D.
(2)(2010江西鹰潭)已知复数z＝＋()2 010，则复数z等于( )
A.0 B.2 C.－2i D.2i
【解析】(1)D.计算容易有＋＝.
(2)A.
总结提高
复数的代数运算是重点，是每年必考内容之一，复数代数形式的运算：①加减法按合并同类项法则进行；②乘法展开、除法须分母实数化.因此，一些复数问题只需设z＝a＋bi(a，b∈R)代入原式后，就可以将复数问题化归为实数问题来解决.
第十六章 几何证明选讲 高考导航
考试要求
重难点击
命题展望
1.了解平行线截割定理.
2.会证明并应用直角三角形射影定理.
3.会证明并应用圆周角定理，圆的切线的判定定理及性质定理，并会运用它们进行计算与证明.
4.会证明并应用相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理，并会运用它们进行几何计算与证明.
5.了解平行投影的含义，通过圆柱与平面的位置关系了解平行投影；会证明平面与圆柱面的截线是椭圆(特殊情形是圆).
6.了解下面的定理.
定理：在空间中，取直线l为轴，直线l′与l相交于点O，其夹角为α，l′围绕l旋转得到以O为顶点，l′为母线的圆锥面，任取平面π，若它与轴l的交角为β(π与l平行，记β＝0)，则：
①β＞α，平面π与圆锥的交线为椭圆；
②β＝α，平面π与圆锥的交线为抛物线；
③β＜α，平面π与圆锥的交线为双曲线.
7.会利用丹迪林(Dandelin)双球(如图所示，这两个球位于圆锥的内部，一个位于平面π的上方，一个位于平面π的下方，并且与平面π及圆锥面均相切，其切点分别为F，E)证明上述定理①的情形：
当β＞α时，平面π与圆锥的交线为椭圆.
(图中，上、下两球与圆锥面相切的切点分别为点B和点C，线段BC与平面π相交于点A)
8.会证明以下结果：
①在7.中，一个丹迪林球与圆锥面的交线为一个圆，并与圆锥的底面平行.记这个圆所在的平面为π′.
②如果平面π与平面π′的交线为m，在6.①中椭圆上任取点A，该丹迪林球与平面π的切点为F，则点A到点F的距离与点A到直线m的距离比是小于1的常数e(称点F为这个椭圆的焦点，直线m为椭圆的准线，常数e为离心率).
9.了解定理6.③中的证明，了解当β无限接近α时，平面π的极限结果.
本章重点：相似三角形的判定与性质，与圆有关的若干定理及其运用，并将其运用到立体几何中.
本章难点：对平面截圆柱、圆锥所得的曲线为圆、椭圆、双曲线、抛物线的证明途径与方法，它是解立体几何、平面几何知识的综合运用，应较好地把握.
本专题强调利用演绎推理证明结论，通过推理证明进一步发展学生的逻辑推理能力，进一步提高空间想象能力、几何直观能力和综合运用几何方法解决问题的能力.
第一讲与第二讲是传统内容，高考中主要考查平行线截割定理、直角三角形射影定理以及与圆有关的性质和判定，考查逻辑推理能力.第三讲内容是新增内容，在新课程高考下，要求很低，只作了解.
知识网络
16.1 相似三角形的判定及有关性质
典例精析
题型一 相似三角形的判定与性质
【例1】 如图，已知在△ABC中，D是BC边的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F.
(1)求证：△ABC∽△FCD；
(2)若S△FCD＝5，BC＝10，求DE的长.
【解析】(1)因为DE⊥BC，D是BC的中点，所以EB＝EC，所以∠B＝∠1.
又因为AD＝AC，所以∠2＝∠ACB.所以△ABC∽△FCD.
(2)过点A作AM⊥BC，垂足为点M.因为△ABC∽△FCD，BC＝2CD，所以＝()2＝4，又因为S△FCD＝5，所以S△ABC＝20.因为S△ABC＝BC・AM，BC＝10，所以20＝×10×AM，所以AM＝4.又因为DE∥AM，所以＝，因为DM＝DC＝，BM＝BD＋DM，BD＝BC＝5，所以＝，所以DE＝.
【变式训练1】如右图，在△ABC中，AB＝14 cm，＝，DE∥BC，CD⊥AB，CD＝12 cm.求△ADE的面积和周长.
【解析】由AB＝14 cm，CD＝12 cm，CD⊥AB，得S△ABC＝84 cm2.
再由DE∥BC可得△ABC∽△ADE.由＝()2可求得S△ADE＝ cm2.利用勾股定理求出BC，AC，再由相似三角形性质可得△ADE的周长为15 cm.
题型二 探求几何结论
【例2】如图，在梯形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，EF∥AD，假设EF做上下平行移动.
(1)若＝，求证：3EF＝BC＋2AD；
(2)若＝，试判断EF与BC，AD之间的关系，并说明理由；
(3)请你探究一般结论，即若＝，那么你可以得到什么结论？
【解析】 过点A作AH∥CD分别交EF，BC于点G、H.
(1)因为＝，所以＝，
又EG∥BH，所以＝＝，即3EG＝BH，
又EG＋GF＝EG＋AD＝EF，从而EF＝(BC－HC)＋AD，
所以EF＝BC＋AD，即3EF＝BC＋2AD.
(2)EF与BC，AD的关系式为5EF＝2BC＋3AD，理由和(1)类似.
(3)因为＝，所以＝，
又EG∥BH，所以＝，即EG＝BH.
EF＝EG＋GF＝EG＋AD＝(BC－AD)＋AD，
所以EF＝BC＋AD，
即(m＋n)EF＝mBC＋nAD.
【点拨】 在相似三角形中，平行辅助线是常作的辅助线之一；探求几何结论可按特殊到一般的思路去获取，但结论证明应从特殊情况得到启迪.
【变式训练2】如右图，正方形ABCD的边长为1，P是CD边上中点，点Q在线段BC上，设BQ＝k，是否存在这样的实数k，使得以Q，C，P为顶点的三角形与△ADP相似？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.
【解析】设存在满足条件的实数k，
则在正方形ABCD中，∠D＝∠C＝90°，
由Rt△ADP∽Rt△QCP或Rt△ADP∽Rt△PCQ得＝或＝，
由此解得CQ＝1或CQ＝.
从而k＝0或k＝.
题型三 解决线的位置或数量关系
【例3】(2009江苏)如图，在四边形ABCD中，△ABC △BAD，求证：AB∥CD.
【证明】 由△ABC≌△BAD得∠ACB＝∠BDA，所以A、B、C、D四点共圆，
所以∠CAB＝∠CDB.
再由△ABC≌△BAD得∠CAB＝∠DBA，
所以∠DBA＝∠CDB，即AB∥CD.
【变式训练3】如图，AA1与BB1相交于点O，AB∥A1B1且AB＝A1B1，△AOB的外接圆的直径为1，则△A1OB1的外接圆的直径为 .
【解析】因为AB∥A1B1且AB＝A1B1，所以△AOB∽△A1OB1
因为两三角形外接圆的直径之比等于相似比.
所以△A1OB1的外接圆直径为2.
总结提高
1.相似三角形的判定与性质这一内容是平面几何知识的重要组成部分，是解题的工具，同时它的内容渗透了等价转化、从一般到特殊、分类讨论等重要的数学思想与方法，在学习时应以它们为指导.相似三角形的证法有：定义法、平行法、判定定理法以及直角三角形的HL法.
相似三角形的性质主要有对应线的比值相等(边长、高线、中线、周长、内切圆半径等)，对应角相等，面积的比等于相似比的平方.
2.“平行出相似”“平行成比例”，故此章中平行辅助线是常作的辅助线之一，遇到困难时应常考虑此类辅助线.
16.2 直线与圆的位置关系和圆锥曲线的性质
典例精析
题型一 切线的判定和性质的运用
【例1】如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F.
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若＝，求的值.
【解析】(1)证明：连接OD，可得∠ODA＝∠OAD＝∠DAC，
所以OD∥AE，又AE⊥DE，所以DE⊥OD，
又OD为半径，所以DE是⊙O的切线.
(2)过D作DH⊥AB于H，则有∠DOH＝∠CAB，
＝cos∠DOH＝cos∠CAB＝＝，
设OD＝5x，则AB＝10x，OH＝2x，所以AH＝7x.
由△AED≌△AHD可得AE＝AH＝7x，
又由△AEF∽△DOF可得AF∶DF＝AE∶OD＝，
所以＝.
【变式训练1】已知在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，连接DO并延长交AC的延长线于点E，⊙O的切线DF交AC于点F.
(1)求证：AF＝CF；
(2)若ED＝4，sin∠E＝，求CE的长.
【解析】(1)方法一：设线段FD延长线上一点G，则∠GDB＝∠ADF，且∠GDB＋∠BDO＝，所以∠ADF＋∠BDO＝，又因为在⊙O中OD＝OB，∠BDO＝∠OBD，所以∠ADF＋∠OBD＝.
在Rt△ABC中，∠A＋∠CBA＝，所以∠A＝∠ADF，所以AF＝FD.
又在Rt△ABC中，直角边BC为⊙O的直径，所以AC为⊙O的切线，
又FD为⊙O的切线，所以FD＝CF.
所以AF＝CF.
方法二：在直角三角形ABC中，直角边BC为⊙O的直径，所以AC为⊙O的切线，
又FD为⊙O的切线，所以FD＝CF，且∠FDC＝∠FCD.
又由BC为⊙O的直径可知，∠ADF＋∠FDC＝，∠A＋∠FCD＝，
所以∠ADF＝∠A，所以FD＝AF.
所以AF＝CF.
(2)因为在直角三角形FED中，ED＝4，sin∠E＝，所以cos∠E＝，所以FE＝5.
又FD＝3＝FC，所以CE＝2.
题型二 圆中有关定理的综合应用
【例2】如图所示，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P.
(1)求证：AD∥EC；
(2)若AD是⊙O2的切线，且PA＝6，PC＝2，BD＝9，求AD的长.
【解析】(1)连接AB，因为AC是⊙O1的切线，所以∠BAC＝∠D，
又因为∠BAC＝∠E，所以∠D＝∠E，所以AD∥EC.
(2)方法一：因为PA是⊙O1的切线，PD是⊙O1的割线，
所以PA2＝PB・PD，所以62＝PB・(PB＋9)，所以PB＝3.
在⊙O2中，由相交弦定理得PA・PC＝BP・PE，所以PE＝4.
因为AD是⊙O2的切线，DE是⊙O2的割线，
所以AD2＝DB・DE＝9×16，所以AD＝12.
方法二：设BP＝x，PE＝y.
因为PA＝6，PC＝2，所以由相交弦定理得PA・PC＝BP・PE，即xy＝12.①
因为AD∥EC，所以＝，所以＝.②
由①②可得 或 (舍去)，所以DE＝9＋x＋y＝16.
因为AD是⊙O2的切线，DE是⊙O2的割线，所以AD2＝DB・DE＝9×16，所以AD＝12.
【变式训练2】如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点， ，DE交AB于点F，且AB＝2BP＝4.
(1)求PF的长度；
(2)若圆F与圆O内切，直线PT与圆F切于点T，求线段PT的长度.
【解析】(1)连接OC，OD，OE，由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系，结合题中已知条件可得∠CDE＝∠AOC.
又∠CDE＝∠P＋∠PFD，∠AOC＝∠P＋∠OCP，
从而∠PFD＝∠OCP，故△PFD∽△PCO，所以＝.
由割线定理知PC・PD＝PA・PB＝12，故PF＝ ＝＝3.
(2)若圆F与圆O内切，设圆F的半径为r，
因为OF＝2－r＝1，即r＝1，
所以OB是圆F的直径，且过点P的圆F的切线为PT，
则PT2＝PB・PO＝2×4＝8，即PT＝2.
题型三 四点共圆问题
【例3】如图，圆O与圆P相交于A、B两点，圆心P在圆O上，圆O的弦BC切圆P于点B，CP及其延长线交圆P于D，E两点，过点E作EF⊥CE，交CB的延长线于点F.
(1)求证：B、P、E、F四点共圆；
(2)若CD＝2，CB＝2，求出由B、P、E、F四点所确定的圆的直径.
【解析】(1)证明：连接PB.因为BC切圆P于点B，所以PB⊥BC.
又因为EF⊥CE，所以∠PBF＋∠PEF＝180°，所以∠EPB＋∠EFB＝180°，
所以B，P，E，F四点共圆.
(2)因为B，P，E，F四点共圆，且EF⊥CE，PB⊥BC，所以此圆的直径就是PF.
因为BC切圆P于点B，且CD＝2，CB＝2，
所以由切割线定理CB2＝CD・CE，得CE＝4，DE＝2，BP＝1.
又因为Rt△CBP∽Rt△CEF，所以EF∶PB＝CE∶CB，得EF＝.
在Rt△FEP中，PF＝＝，
即由B，P，E，F四点确定的圆的直径为.
【变式训练3】如图，△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°.以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边的中点.连接OD交圆O于点M.求证：
(1)O，B，D，E四点共圆；
(2)2DE2＝DM・AC＋DM・AB.
【证明】(1)连接BE，则BE⊥EC.
又D是BC的中点，所以DE＝BD.
又OE＝OB，OD＝OD，所以△ODE≌△ODB，
所以∠OBD＝∠OED＝90°，所以D，E，O，B四点共圆.
(2)延长DO交圆O于点H.
因为DE2＝DM・DH＝DM・(DO＋OH)＝DM・DO＋DM・OH＝DM・(AC)＋DM・(AB)，
所以2DE2＝DM・AC＋DM・AB.
总结提高
1.直线与圆的位置关系是一种重要的几何关系.
本章在初中平面几何的基础上加以深化，使平面几何知识趋于完善，同时为解析几何、立体几何提供了多个理论依据.
2.圆中的角如圆周角、圆心角、弦切角及其性质为证明相关的比例线段提供了理论基础，为解决综合问题提供了方便，使学生对几何概念和几何方法有较透彻的理解.
第十七章 坐标系与参数方程 高考导航
考试要求
重难点击
命题展望
一、坐标系
1.了解在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法，理解坐标系的作用.
2.了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.
3.能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.
4.能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，体会在用方程刻画平面图形时选择适当坐标系的意义.
5.了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间点的位置的方法，并与空间直角坐标系中刻画点的位置的方法相比较，体会它们的区别.
二、参数方程
1.了解参数方程，了解参数的意义.
2.分析直线、圆和圆锥曲线的几何性质，选择适当的参数写出它们的参数方程.
3.了解平摆线和渐开线的生成过程，并能写出它们的参数方程.
4.了解其他摆线的生成过程；了解摆线在实际中应用的实例；了解摆线在刻画行星运动轨道中的作用.
本章重点：
1.根据问题的几何特征选择坐标系；坐标法思想；平面直角坐标系中的伸缩变换；极坐标系；直线和圆的极坐标方程.
2.根据问题的条件引进适当的参数，写出参数方程，体会参数的意义；分析直线、圆和圆锥曲线的几何性质，选择适当的参数写出它们的参数方程.
本章难点：
1.对伸缩变换中点的对应关系的理解；极坐标的不唯一性；曲线的极坐标方程.
2.根据几何性质选取恰当的参数，建立曲线的参数方程.
坐标系是解析几何的基础，为便于用代数的方法研究几何图形，常需建立不同的坐标系，以便使建立的方程更加简单，参数方程是曲线在同一坐标系下不同于普通方程的又一种表现形式.某些曲线用参数方程表示比用普通方程表示更加方便.
本专题要求通过坐标系与参数方程知识的学习，使学生更全面地理解坐标法思想；能根据曲线的特点，选取适当的曲线方程表示形式，体会解决问题中数学方法的灵活性.
高考中，参数方程和极坐标是本专题的重点考查内容.对于柱坐标系、球坐标系，只要求了解即可.
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17.1 坐标系
典例精析
题型一 极坐标的有关概念
【例1】已知△ABC的三个顶点的极坐标分别为A(5，)，B(5，)，C(－4，)，试判断△ABC的形状，并求出它的面积.
【解析】在极坐标系中，设极点为O，由已知得∠AOB＝，∠BOC＝，∠AOC＝.
又|OA|＝|OB|＝5，|OC|＝4，由余弦定理得
|AC|2＝|OA|2＋|OC|2－2|OA|・|OC|・cos∠AOC＝52＋(4)2－2×5×4・cos＝133，
所以|AC|＝.同理，|BC|＝.
所以|AC|＝|BC|，所以△ABC为等腰三角形.
又|AB|＝|OA|＝|OB|＝5，
所以AB边上的高h＝＝，
所以S△ABC＝××5＝.
【点拨】判断△ABC的形状，就需要计算三角形的边长或角，在本题中计算边长较为容易，所以先计算边长.
【变式训练1】(1)点A(5，)在条件：①ρ＞0，θ∈(－2π，0)下极坐标为 ，②ρ＜0，θ∈(2π，4π)下极坐标为 ；
(2)点P(－，)与曲线C：ρ＝cos 的位置关系是 .
【解析】(1)(5，－)；(－5，).(2)点P在曲线C上.
题型二 直角坐标与极坐标的互化
【例2】⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为ρ＝4cos θ，ρ＝－4sin θ.
(1)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)求经过⊙O1和⊙O2交点的直线的直角坐标方程.
【解析】(1)以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立直角坐标系，且两坐标系取相同单位长.
因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ，
所以x2＋y2＝4x，即x2＋y2－4x＝0为⊙O1的直角坐标方程.
同理，x2＋y2＋4y＝0为⊙O2的直角坐标方程.
(2) 由 解得 或
即⊙O1，⊙O2的交点为(0,0)和(2，－2)两点，
故过交点的直线的直角坐标方程为x＋y＝0.
【点拨】 互化的前提条件：原点对应着极点，x轴正向对应着极轴.将互化公式代入，整理可以得到.
【变式训练2】在极坐标系中，设圆ρ＝3上的点到直线ρ(cos θ＋sin θ)＝2的距离为d，求d的最大值.
【解析】将极坐标方程ρ＝3化为普通方程x2＋y2＝9，
ρ(cos θ＋sin θ)＝2可化为x＋y＝2.
在x2＋y2＝9上任取一点A(3cos α，3sin α)，
则点A到直线的距离为d＝＝，它的最大值为4.
题型三 极坐标的应用
【例3】过原点的一动直线交圆x2＋(y－1)2＝1于点Q，在直线OQ上取一点P，使P到直线y＝2的距离等于|PQ|，用极坐标法求动直线绕原点一周时点P的轨迹方程.
【解析】以O为极点，Ox为极轴，建立极坐标系，如右图所示，过P作PR垂直于直线y＝2，则有|PQ|＝|PR|.设P(ρ，θ)，Q(ρ0，θ)，则有ρ0＝2sin θ.因为|PR|＝|PQ|，所以|2－ρsin θ|＝|ρ－2sin θ|，所以
ρ＝±2或sin θ＝±1，即为点P的轨迹的极坐标方程，化为直角坐标方程为x2＋y2＝4或x＝0.
【点拨】用极坐标法可使几何中的一些问题得到很直接、简单的解法，但在解题时关键是极坐标要选取适当，这样可以简化运算过程，转化为直角坐标时也容易一些.
【变式训练3】如图，点A在直线x＝5上移动，等腰△OPA的顶角∠OPA为120°(O，P，A按顺时针方向排列)，求点P的轨迹方程.
【解析】取O为极点，x正半轴为极轴，建立极坐标系，
则直线x＝5的极坐标方程为ρcos θ＝5.
设A(ρ0，θ0)，P(ρ，θ)，
因为点A在直线ρcos θ＝5上，所以ρ0cos θ0＝5.①
因为△OPA为等腰三角形，且∠OPA＝120°，而|OP|＝ρ，|OA|＝ρ0以及∠POA＝30°，
所以ρ0＝ρ，且θ0＝θ－30°.②
把②代入①，得点P的轨迹的极坐标方程为ρcos(θ－30°)＝5.
题型四 平面直角坐标系中坐标的伸缩变换
【例4】定义变换T： 可把平面直角坐标系上的点P(x，y)变换成点P′(x′，y′).特别地，若曲线M上一点P经变换公式T变换后得到的点P′与点P重合，则称点P是曲线M在变换T下的不动点.
(1)若椭圆C的中心为坐标原点，焦点在x轴上，且焦距为2，长轴顶点和短轴顶点间的距离为2.求椭圆C的标准方程，并求出当tan θ＝时，其两个焦点F1、F2经变换公式T变换后得到的点F1′和F2′的坐标；
(2)当tan θ＝时，求(1)中的椭圆C在变换T下的所有不动点的坐标.
【解析】(1)设椭圆C的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，
由椭圆定义知焦距2c＝2⇒c＝，即a2－b2＝2.①
又由已知得a2＋b2＝4，②
故由①、②可解得a2＝3，b2＝1.
即椭圆C的标准方程为＋y2＝1，
且椭圆C两个焦点的坐标分别为F1(－，0)和F2(，0).
对于变换T： 当tanθ= 时，可得
设F1′(x1，y1)和F2′(x2，y2)分别是由F1(－，0)和F2(，0)的坐标经变换公式T变换得到.
于是
即F1′的坐标为(－，－)；
又
即F2′的坐标为(，).
(2)设P(x，y)是椭圆C在变换T下的不动点，则当tan θ＝时，
有 ⇒x＝3y，由点P(x，y)∈C，即P(3y，y)∈C，得＋y2＝1
⇒ 因而椭圆C的不动点共有两个，分别为(，)和(－，－).
【变式训练4】在直角坐标系中，直线x－2y＝2经过伸缩变换 后变成直线2x′－y′＝4.
【解析】
总结提高
1.平面内一个点的极坐标有无数种表示方法.
如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(ρ，θ)表示；反之也成立.
2.熟练掌握几种常用的极坐标方程，特别是直线和圆的极坐标方程.
17.2 参数方程
典例精析
题型一 参数方程与普通方程互化
【例1】 把下列参数方程化成普通方程：
(1) (θ为参数)；
(2) (t为参数，a，b＞0).
【解析】(1)
所以5x2＋4xy＋17y2－81＝0.
(2)由题意可得
所以①2－②2得－＝4，所以－＝1，其中x＞0.
【变式训练1】把下列参数方程化为普通方程，并指出曲线所表示的图形.
(1) (2) (3) (4)
【解析】(1)x2＝2(y＋)，－≤x≤，图形为一段抛物线弧.
(2)x＝1，y≤－2或y≥2，图形为两条射线.
(3)x2＋y2－3y＝0(y≠3)，图形是一个圆，但是除去点(0,3).
(4)－＝1，图形是双曲线.
题型二 根据直线的参数方程求弦长
【例2】已知直线l的参数方程为 (t为参数)，曲线C的极坐标方程为ρ2cos 2θ＝1.
(1)求曲线C的普通方程；
(2)求直线l被曲线C截得的弦长.
【解析】(1)由曲线C：ρ2cos 2θ＝ρ2(cos2θ－sin2θ)＝1，
化成普通方程为x2－y2＝1.①
(2)方法一：把直线参数方程化为标准参数方程 (t为参数).②
把②代入①得(2＋)2－(t)2＝1，整理得t2－4t－6＝0.
设其两根为t1，t2，则t1＋t2＝4，t1t2＝－6.
从而弦长为|t1－t2|＝＝＝＝2.
方法二：把直线的参数方程化为普通方程为y＝(x－2)，
代入x2－y2＝1，得2x2－12x＋13＝0.
设l与C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝6，x1x2＝，
所以|AB|＝・＝2＝2.
【变式训练2】在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 (t为参数)，若以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为ρ＝cos(θ＋)，求直线l被曲线C所截的弦长.
【解析】将方程 (t为参数)化为普通方程为3x＋4y＋1＝0.
将方程ρ＝cos(θ＋)化为普通方程为x2＋y2－x＋y＝0.
表示圆心为(，－)，半径为r＝的圆，
则圆心到直线的距离d＝，弦长＝2＝2＝.
题型三 参数方程综合运用
【例3】(2009海南、宁夏)已知曲线C1： (t为参数)，C2： (θ为参数).
(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
(2)若C1上的点P对应的参数为t＝，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3： (t为参数)距离的最小值.
【解析】(1)C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1，C2：＋＝1.
C1是以(－4,3)为圆心，1为半径的圆；
C2是以坐标原点为中心，焦点在x轴，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆.
(2)当t＝时，P(－4,4)，Q(8cos θ，3sin θ)，故M(－2＋4cos θ，2＋sin θ).
C3为直线x－2y－7＝0，M到C3的距离d＝|4cos θ－3sin θ－13|，
从而cos θ＝，sin θ＝－时，d取最小值.
【变式训练3】在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 (θ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，得曲线C2的极坐标方程为ρ＝
2cos θ－4sin θ(ρ＞0).
(1)化曲线C1、C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
(2)设曲线C1与x轴的一个交点的坐标为P(m,0)(m＞0)，经过点P作曲线C2的切线l，求切线l的方程.
【解析】(1)曲线C1：＋＝1；曲线C2：(x－1)2＋(y＋2)2＝5.
曲线C1为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是4，短半轴长是2的椭圆；曲线C2为圆心为(1，－2)，半径为的圆.
(2)曲线C1：＋＝1与x轴的交点坐标为(－4,0)和(4,0)，因为m＞0，所以点P的坐标为(4,0).显然切线l的斜率存在，设为k，则切线l的方程为y＝k(x－4).
由曲线C2为圆心为(1，－2)，半径为的圆得＝，
解得k＝，所以切线l的方程为y＝(x－4).
总结提高
1.在参数方程与普通方程互化的过程中，要保持化简过程的同解变形，避免改变变量x，y的取值范围而造成错误.
2.消除参数的常用方法有：①代入消参法；②三角消参法；③根据参数方程的特征，采用特殊的消参手段.
3.参数的方法在求曲线的方程等方面有着广泛的应用，要注意合理选参、巧妙消参.
