2012届高考数学第一轮逻辑联结词与四种命题专项复习教案

详细内容

1.2逻辑联结词与四种命题
●知识梳理
1.逻辑联结词
（1）命题：可以判断真假的语句叫做命题.
（2）逻辑联结词：“或”“且”“非”这些词叫做逻辑联结词.
（3）简单命题与复合命题：不含逻辑联结词的命题叫简单命题；由简单命题和逻辑联结词构成的命题叫做复合命题.
（4）真值表：表示命题真假的表叫真值表.
2.四种命题
（1）四种命题
原命题：如果p，那么q（或若p则q）；逆命题：若q则p；
否命题：若 p则 q；逆否命题：若 q则 p.
（2）四种命题之间的相互关系

这里，原命题与逆否命题，逆命题与否命题是等价命题.
●点击双基
1.由“p:8+7=16，q:π＞3”构成的复合命题，下列判断正确的是
A.p或q为真，p且q为假，非p为真
B.p或q为假，p且q为假，非p为真
C.p或q为真，p且q为假，非p为假
D.p或q为假，p且q为真，非p为真
解析：因为p假，q真，由复合命题的真值表可以判断，p或q为真，p且q为假，非p为真.
答案：A
2.（2004年福建，3）命题p:若a、b∈R，则|a|+|b|＞1是|a+b|＞1的充分而不必要条件；
命题q:函数y= 的定义域是（－∞，－1］∪［3，+∞），则
A.“p或q”为假B.“p且q”为真
C.p真q假D.p假q真
解析：∵|a+b|≤|a|+|b|，
若|a|+|b|＞1，不能推出|a+b|＞1，而|a+b|＞1，一定有|a|+|b|＞1，故命题p为假.
又由函数y= 的定义域为|x－1|－2≥0，即|x－1|≥2，即x－1≥2或x－1≤－2.
故有x∈（－∞，－1］∪［3，+∞）.∴q为真命题.
答案：D
3.（2005年春季上海，15）设函数f（x）的定义域为R，有下列三个命题：
①若存在常数M，使得对任意x∈R，有f（x）≤M，则M是函数f（x）的最大值；
②若存在x0∈R，使得对任意x∈R，且x≠x0，有f（x）＜f（x0），则f（x0）是函数f（x）的最大值；
③若存在x0∈R，使得对任意x∈R，有f（x）≤f（x0），则f（x0）是函数f（x）的最大值.
这些命题中，真命题的个数是
A.0B.1C.2D.3
解析：①错.原因：可能“=”不能取到.②③都正确.
答案：C
4.命题“若m＞0，则关于x的方程x2+x－m=0有实数根”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为___________________.
解析：先写出其命题的逆命题、否命题、逆否命题，逐一判断.
答案：2
5.（2005年北京西城区抽样测试题）已知命题p:函数y=loga（ax+2a）（a＞0且a≠1）的图象必过定点（－1，1）；
命题q:如果函数y=f（x－3）的图象关于原点对称，那么函数y=f（x）的图象关于点（3，0）对称.则
A.“p且q”为真B.“p或q”为假
C.p真q假D.p假q真
解析：解决本题的关键是判定p、q的真假.由于p真，q假（可举反例y=x+3），因此正确答案为C.
答案：C
●典例剖析
【例1】给出命题“已知a、b、c、d是实数，若a=b，c=d，则a+c=b+d”，对其原命题、逆命题、否命题、逆否命题而言，真命题有
A.0个B.2个C.3个D.4个
剖析：原命题和逆否命题为真.
答案：B
深化拓展
若a、b、c∈R，写出命题“若ac＜0，则ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这三个命题的真假.
思路：认清命题的条件p和结论q，然后按定义写出逆命题、否命题、逆否命题，最后判断真假.
解：逆命题“若ax2+bx+c=0（a、b、c∈R）有两个不相等的实数根，则ac＜0”是假命题，如当a=1，b=－3，c=2时，方程x2－3x+2=0有两个不等实根x1=1，x2=2，但ac=2＞0.
否命题“若ac≥0，则方程ax2+bx+c=0（a、b、c∈R）没有两个不相等的实数根”是假命题.这是因为它和逆命题互为逆否命题，而逆命题是假命题.
逆否命题“若ax2+bx+c=0（a、b、c∈R）没有两个不相等的实数根，则ac≥0”是真命题.因为原命题是真命题，它与原命题等价.
评述：解答命题问题，识别命题的条件p与结论q的构成是关键.
【例2】指出下列复合命题的形式及其构成.
（1）若α是一个三角形的最小内角，则α不大于60°；
（2）一个内角为90°，另一个内角为45°的三角形是等腰直角三角形；
（3）有一个内角为60°的三角形是正三角形或直角三角形.
解：（1）是非p形式的复合命题，其中p:若α是一个三角形的最小内角，则α＞60°.
（2）是p且q形式的复合命题，其中p:一个内角为90°，另一个内角为45°的三角形是等腰三角形，q:一个内角为90°，另一个内角为45°的三角形是直角三角形.
（3）是p或q形式的复合命题，其中p:有一个内角为60°的三角形是正三角形，q：有一个内角为60°的三角形是直角三角形.
【例3】写出命题“当abc=0时，a=0或b=0或c=0”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假.
剖析：把原命题改造成“若p则q”形式，再分别写出其相应的逆命题、否命题、逆否命题.在判断真假时要注意利用等价命题的原理和规律.
解：原命题：若abc=0，则a=0或b=0或c=0，是真命题.
逆命题：若a=0或b=0或c=0，则abc=0，是真命题.
否命题：若abc≠0，则a≠0且b≠0且c≠0，是真命题.
逆否命题：若a≠0且b≠0且c≠0，则abc≠0，是真命题.
●闯关训练
夯实基础
1.如果原命题的结论是“p且q”形式，那么否命题的结论形式为
A. p且 qB. p或 qC. p或 qD. q或 p
解析：p且q的否定为 p或 q.
答案：B
2.下列四个命题中真命题是
①“若xy=1，则x、y互为倒数”的逆命题②“面积相等的三角形全等”的否命题③“若m≤1，则方程x2－2x+m=0有实根”的逆否命题④“若A∩B=B，则A B”的逆否命题
A.①②B.②③C.①②③D.③④
解析：写出满足条件的命题再进行判断.
答案：C
3.分别用“p或q”“p且q”“非p”填空.
（1）命题“15能被3和5整除”是___________________形式；
（2）命题“16的平方根是4或－4”是______________形式；
（3）命题“李强是高一学生，也是共青团员”是___________________形式.
答案：（1）p且q（2）p或q（3）p且q
4.命题“若ab=0，则a、b中至少有一个为零”的逆否命题是_______________.
答案：若a≠0且b≠0，则ab≠0
5.在一次模拟打飞机的游戏中，小李接连射击了两次，设命题p1“第一次射击击中飞机”，命题p2“第二次射击击中飞机”，试用p1、p2及联结词“或”“且”“非”表示下列命题：
（1）两次都击中飞机；
（2）两次都没击中飞机；
（3）恰有一次击中飞机；
（4）至少有一次击中飞机.
解：（1）两次都击中飞机是p1且p2；
（2）两次都没击中飞机是 p1且 p2；
（3）恰有一次击中飞机是p1且 p2，或p2且 p1；
（4）至少有一次击中飞机是p1或p2.
培养能力
6.（2004年湖北，15）设A、B为两个集合.下列四个命题：
①A B 对任意x∈A，有x B；②A B A∩B= ；③A B A B；④A B 存在x∈A，使得x B.
其中真命题的序号是______________.（把符合要求的命题序号都填上）
解析：A B 存在x∈A，有x B，故①错误；②错误；④正确.
亦或如下图所示.

③反例如下图所示.

A B A B.反之，同理.
答案：④
7.命题：已知a、b为实数，若x2＋ax＋b≤0有非空解集，则a2－4b≥0，写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假.
分析：原命题中，a、b为实数是前提，条件是x2+ax+b≤0有非空解集（即不等式有解），结论是a2－4b≥0，由四种命题的关系可得出其他三种命题.
解：逆命题：已知a、b为实数，若a2－4b≥0，则x2+ax+b≤0有非空解集.
否命题：已知a、b为实数，若x2+ax+b≤0没有非空解集，则a2－4b＜0.
逆否命题：已知a、b为实数，若a2－4b＜0，则x2+ax+b≤0没有非空解集.
原命题、逆命题、否命题、逆否命题均为真命题.
8.写出下列命题非的形式：
（1）p:函数f（x）=ax2+bx+c的图象与x轴有唯一交点；
（2）q:若x=3或x=4，则方程x2－7x+12=0.
解：（1）函数f（x）=ax2+bx+c的图象与x轴没有交点或至少有两个交点.
（2）若x=3或x=4，则x2－7x+12≠0.
探究创新
9.小李参加全国数学联赛，有三位同学对他作如下的猜测.
甲：小李非第一名，也非第二名；乙：小李非第一名，而是第三名；丙：小李非第三名而是第一名.竞赛结束后发现，一人全猜对，一人猜对一半，一人全猜错，问：小李得了第几名？
解：（1）假设小李得了第三名，则甲全猜对，乙全猜错，显然与题目已知条件相矛盾，故假设不可能.
（2）假设小李得了第二名，则甲猜对一半，乙猜对一半，也与已知条件矛盾，故假设不可能.
（3）假设小李得了第一名，则甲猜对一半，乙全猜错，丙全猜对，无矛盾.
综合（1）（2）（3）知小李得了第一名.
●思悟小结
1.有的“p或q”与“p且q”形式的复合命题语句中，字面上未出现“或”与“且”字，此时应从语句的陈述中搞清含义，从而分清是“p或q”还是“p且q”形式.一般地，若两个命题属于同时都要满足的为“且”，属于并列的为“或”.
2.原命题与它的逆否命题同为真假，原命题的逆命题与否命题同为真假，所以对一些命题的真假判断（或推证），我们可通过对与它同真假的（具有逆否关系的）命题来判断（或推证）.
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教学点睛
1.有的“p或q”与“p且q”形式的复合命题语句中，字面上未出现“或”与“且”字，此时应从语句的陈述中搞清含义，从而分清是“p或q”还是“p且q”形式.一般地，若两个命题属于同时都要满足的为“且”，属于并列的为“或”.
2.要明确原命题、否命题、逆命题、逆否命题之间的关系.
拓展题例
【例1】写出下列各命题的否定及其否命题，并判断它们的真假.
（1）若x、y都是奇数，则x+y是偶数；
（2）若xy=0，则x=0或y=0；
（3）若一个数是质数，则这个数是奇数.
解：（1）命题的否定：x、y都是奇数，则x+y不是偶数，为假命题.
原命题的否命题：若x、y不都是奇数，则x+y不是偶数，是假命题.
（2）命题的否定：xy=0则x≠0且y≠0，为假命题.
原命题的否命题：若xy≠0，则x≠0且y≠0，是真命题.
（3）命题的否定：一个数是质数，则这个数不是奇数，是假命题.
原命题的否命题：若一个数不是质数，则这个数不是奇数，为假命题.
【例2】有A、B、C三个盒子，其中一个内放有一个苹果，在三个盒子上各有一张纸条.
A盒子上的纸条写的是“苹果在此盒内”，
B盒子上的纸条写的是“苹果不在此盒内”，
C盒子上的纸条写的是“苹果不在A盒内”.
如果三张纸条中只有一张写的是真的，请问苹果究竟在哪个盒子里？
解：若苹果在A盒内，则A、B两个盒子上的纸条写的为真，不合题意.
若苹果在B盒内，则A、B两个盒子上的纸条写的为假，C盒子上的纸条写的为真，符合题意，即苹果在B盒内.
同样，若苹果在C盒内，则B、C两盒子上的纸条写的为真，不合题意.
综上，苹果在B盒内.