高三数学不等式的性质教案14
详细内容
第六章 不等式总览
知识结构网络
6.1不等式的性质
一、明确复习目标
掌握不等式的性质及其证明，能正确使用这些性质解决一些简单问题
二．建构知识网络
1.比较原理：
两实数之间有且只有以下三个大小关系之一：a>b;a
以此可以比较两个数（式）的大小，――作差比较法．
或作商比较：a>0时, ；a<0时, .
2．不等式的性质：
（1）对称性: ，
证明：（比较法）
（2）传递性: ，
（3）可加性: .
移项法则:
推论：同向不等式可加.
（4）可乘性: ，
推论1：同向(正)可乘:
证明：（综合法）
推论2：可乘方(正):
(5) 可开方(正):
证明：（反证法）
不等式的性质有五个定理,三个推论,一个比较原理,是解、证不等式的基础，对于这些性质，关键是正确理解和熟练运用，要弄清每一个条件和结论，学会对不等式进行条件的放宽和加强
三、双基题目练练手
1.(2006春上海) 若 ，则下列不等式成立的是( )
A.¬ . B. . C. . D. .
2.(2004北京）已知a、b、c满足 ，且 ，那么下列选项中不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
3. 对于实数，下命题正确的是 ( )
A.若a
4.（2004春北京）已知三个不等式：ab＞0，bc－ad＞0， － ＞0（其中a、b、c、d均为实数），用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是
A.0B.1C.2D.3
5.(2004辽宁)对于 ，给出下列四个不等式
① ②
③ ④
其中成立的是_________
6.a＞b＞0，m＞0，n＞0，则 ， ， ， 的由大到小的顺序是____________.
练习简答:1-4.CD; 5. ②与④; 6.特殊值法,答案： ＞ ＞ ＞
四、经典例题做一做
【例1】已知a<2，
解：∵b≤2a
∴c=b-2a≤0,
∴ b-4> -2a= ．
∴c的取值范围是：
解：由已知1≤a－b≤2, ①, 2≤a+b≤4 ②
若将f(－2)=4a－2b用a－b与a+b,表示，则问题得解
设4a－2b=m(a－b)+n(a+b), (m,n为待定系数)
即4a－2b=（m+n）a－(m－n)b,
于是得 得：m=3, n=1
由①×3+②×1得5≤4a-2b≤10
即5≤f(－2)≤10,
另法：由 得
∴f(－2)=4a－2b=3 f(－1)+ f(1)……
◆特别提醒:常见错解:由①②解出a和b的范围,再凑出4a－2b的范围.错误的原因是a和b不同时接近端点值,可借且于线性规划知识解释.
【例3】(1)设A=xn+x－n，B=xn－1+x1－n，当x∈R+，n∈N时， 比较A与B的大小.
(2)设0＜x＜1，a＞0且a≠ ，试比较|log3a（1－x）3|与|log3a（1+x）3|的大小.
解: (1)A－B=（xn+x－n）－（xn－1+x1－n）
=x－n（x2n+1－x2n－1－x）
=x－n［x（x2n－1－1）－（x2n－1－1）］
=x－n（x－1）（x2n－1－1）.
由x∈R+，x－n＞0，得
当x≥1时，x－1≥0，x2n－1－1≥0；
当x＜1时，x－1＜0，x2n－1＜0，即
x－1与x2n－1－1同号.∴A－B≥0.∴A≥B.
(2)∵0＜x＜1，所以
①当3a＞1，即a＞ 时，
|log3a（1－x）3|－|log3a（1+x）3|
=|3log3a（1－x）|－|3log3a（1+x）|
=3［－log3a（1－x）－log3a（1+x）］
=－3log3a（1－x2）.
∵0＜1－x2＜1，∴－3log3a（1－x2）＞0.
②当0＜3a＜1，即0＜a＜ 时，
|log3a（1－x）3|－|log3a（1+x）3|
=3［log3a（1－x）+log3a（1+x）］
=3log3a（1－x2）＞0.
综上所述，|log3a（1－x）3|＞|log3a（1+x）3|.
◆提炼方法：(1)作差分解因式、配方或利用单调性,分类判断差式的符号.
【例4】已知函数 ， ，试比较 与 的大小．
解 作差 ―
=
当 时， 得
= 。
（2）当 时， ,所以
①当 时，
得
= 。
②当 时， 得
>
③当 时， 得
<
综上所述：当 或 时
= 。
当 且 时
> 。
当 且 时
< 。
【研讨.欣赏】已知a>b>c，a+b+c=0方程ax2+bx+c=0的两个实根为x1，x2
（1）证明：－ ；
（2）若x12+x1x2+x22=1，求x12－x1x2+x22
解：（1） a>b>c，a+b+c=0,
∴
且 a>0，
∴1> ，
(2)(方法1) a+b+c=0
∴ax2+bx+c=0有一根为1，
不妨设x1=1,则由x12+x1x2+x22=1可得x2(x2+1)=0，
而x2=x1x2= <0(3c
(方法2) x1+x2=－ ，x1x2=
由x12+x1x2+x22=(x1+x2)2－ x1x2= =1，
∴
∴x12－x1x2+x22= x12+x1x2+x22－2x1x2=1－2x1x2=1+
五．提炼总结以为师
1.熟练掌握准确运用不等式的性质。
2.比较两数大小，一般用作差法。步骤：作差---变形(分解因式或配方)---判断符号
3.对于含参问题的大小比较要注意分类讨论.
同步练习 6.1不等式的性质
【选择题】
1.(2006浙江)“ ”是“ ”的 ( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不允分也不必要条件
2．（2006江西）若 ,则不等式 等价于（ ）
A. B.
C. D.
3.(2004湖北)若 ，则下列不等式① ；② ③ ；
④ 中，正确的不等式有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4.“不等式a3+b3+c3≥3abc”成立的充要条件是 ( )
A.a+b+c≥0 B. a+b+c≥0,3abc≥0
C.a>0,b>0,c>0 D.a≥0, b≥0, c≥0
【填空题】
5.已知a＞2，b＞2，则a+b与ab的大小关系是__________.
6.已知－1＜2a＜0，A=1+a2，B=1－a2，C= ，D= 则A、B、C、D按从小到大的顺序排列起来是____________.
简答.提示：1-4.ADBA; 4. a3+b3+c3-3abc=(a+b)3+c3-3a2b-3ab2 -3abc
=(a+b+c)[(a+b)2-(a+b)c+c2]-3abc(a+b+c)
=(a+b+c)[(a+b)2+(a+c)2+(b+c)2]≥0,<=> a+b+c≥0
5. 解：∵ab－（a+b）=（a－1）（b－1）－1＞0.∴ab＞a+b.
6.取特殊值a=－ ，计算可得A= ，B= ，C= ，D= .
∴D＜B＜A＜C.
【解答题】
7.设实数a,b,c满足①b+c＝6-4a+3a2,②c-b＝4-4a+a2，试确定a,b,c的大小关系.
解:∵c-b＝(a-2)2≥0，∴c≥b,又2b＝2+2a2，∴b＝1+a2,∴b-a＝a2-a+1＝(a- )2+ >0,∴b>a，从而c≥b>a.?
8. 已知函数f(x)=x3+x 证明:
(1)f(x)是增函数;
(2)若a,b,c∈R, 且,a+b>0,b+c>0,c+a>0,则f(a)+f(b)+f(c)>0.
证明:(1)设x1
=(x1-x2)(x12+x1x2+x22+1) ①
当x1,x2同号时, ①=(x1-x2)[(x1-x2)2+3x1x2+1)]<0
当x1,x2异号时,①=(x1-x2)[(x1+x2)2-x1x2+1)]<0
综上有f(x1)
∴f(a)>f(-b)=－f(b),即 f(a)+f(b)>0.
同理, f(b)+f(c)>0, f(a)+f(c)>0.
三式相加得2[f(a)+f(b)+f(c)]>0,所以f(a)+f(b)+f(c)>0成立.
9.在等差数列｛an｝和等比数列｛bn｝中，a1＝b1>0，a3＝b3>0，a1≠a3.试比较下面两组数的大小.
(1)a2与b2.
(2)(2)a5与b5.
解:设an＝a1+(n-1)d,bn＝a1qn-1，依题意a1+2d＝a1q2,∴d＝ a1q2- a1,
∴(1)a2-b2＝a1+d-a1q＝a1-a1q+ a１q2- a１＝ aq2-a1q+ １＝ a(q-1)2，
∵a1≠a3，∴a1≠a1+2d，即d≠0,q≠1,
∴a2-b2＝ a１(q-1)2>0,∴a2>b2.
(2)a5-b5＝a1+4d-a1q4＝a1-a1q4+2a1q2-2a1＝-a1q4+2a1q2-a1＝-a1(q2-1)2<0,∴a5
10.1+logx3与2logx2（x＞0且x≠1）的大小.
解：（1+logx3）－2logx2=logx .
当 或
即0＜x＜1或x＞ 时，
有logx ＞0，1+logx3＞2logx2.
当 ①或 ②时，logx ＜0.
解①得无解，解②得1＜x＜ ，
即当1＜x＜ 时，有logx ＜0，
1+logx3＜2logx2.
当 x=1，即x= 时，有logx =0.
∴1+logx3=2logx2.
综上所述，当0＜x＜1或x＞ 时，1+logx3＞2logx2；
当1＜x＜ 时，1+logx3＜2logx2；
当x= 时，1+logx3=2logx2.
【探索题】x、y是正实数,记
A(x,y)= ,B(x,y)=
(1)证明:A(x,y)≤B(x,y)
(2)是否存在常数C,使得A(x,y)≤C≤B(x,y)恒成立?证明你的结论.
证明:(1)B(x,y)－A(x,y)=
∴A(x,y)≤B(x,y).
(2)鉴于二式中关于x,y的轮换对称性,令x=y,得A(x,y)=B(x,y)=
下证A(x,y)≤ ≤B(x,y)
同理 .
所以,存在正常数C= ,使A(x,y)≤C≤B(x,y)成立.
(2)法2: (放缩法)