高三数学导数的概念与运算教案17
详细内容
11.3导数概念与运算
一、明确复习目标
1.了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)；
2.掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念;
3.熟记基本导数公式；
4.掌握两个函数和、差、积、商的求导法则;
5.了解复合函数的求导法则.会求某些简单函数的导数.
二．建构知识网络
1．导数的概念：设函数y=f(x)在x=x0处附近有定义，如果Δx→0时，Δy与Δx的比 （也叫函数的平均变化率）有极限即 无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数y=f(x)在Δx→0处的导数，记作
；
2．导数的几何意义：函数y=f(x)在x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点（x0，y0）处的切线的斜率，即斜率为f′(x0).
过点P的切线方程为：y- y0= f′(x0) (x- x0).
3.导函数、可导：如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内的每点处都有导数，即对于每一个x∈(a,b)，都对应着一个确定的导数f′(x0)，从而构成了一个新的函数f′(x0), 称这个函数f′(x0)为函数y=f(x)在开区间内的导函数，简称导数。此时称函数y=f(x)在开区间(a,b)内可导.
4．可导与连续的关系：如果函数y=f(x)在点x0处可导 函数y=f(x)在点x0处连续.
5.依定义求导数的方法：
（1）求函数的改变量
（2）求平均变化率
（3）取极限，得导数 ＝
6．几种常见函数的导数：
(C为常数)； ( )； ； ； ； ； ； 。
7．导数的四则运算法则：
； ；
；
8．复合函数的导数：设函数u= (x)在点x处有导数u′x= ′(x)，函数y=f(u)在点x的对应点u处有导数y′u=f′(u)，则复合函数y=f( (x))在点x处也有导数，且 或 =f′(u) ′(x).
9.求导数的方法:
(1)求导公式; (2)导数的四则运算法则;
(3)复合函数的求导公式; (4)导数定义.
三、双基题目练练手
1.在曲线y=x2+1的图象上取一点（1,2）及邻近一点（1+Δx,2+Δy）,则 为（ ）
A.Δx+ +2 B.Δx－ －2 C.Δx+2 D.2+Δx－
2.设f（x）=ax3+3x2+2,若f′（－1）=4,则a的值等于 （ ）
A. B. C. D.
3．(2005湖南)设f0(x) ＝ sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x) ＝ fn′(x)，n∈N，则f2005(x)＝ （ ）
A．sinx B．－sinx C．cosx D．－cosx
4.(2006湖南)设函数 , 集合 , 若 , 则实数 的取值范围是 ( )
A． B． C． D．
5. (2006全国Ⅰ)设函数 若 是奇函数，则 __________
6．设函数 若该函数在实数集R上可导，则该函数的最小值是____．
7.(2005北京)过原点作曲线 的切线，则切点的坐标为 ，切线的斜率为 .
8．对正整数n，设曲线 在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为 ，则数列 的前n项和的公式是
简答:1－4.CD； 5. π6 ；
6. 答案: －14. 依题意
作图易得函数的最小值是f(12)＝－14
7. （1，e） e； 8. 2n+1-2.
四、经典例题做一做
【例1】求下列函数的导数：
（1）y= （2）y=ln（x＋ ）;
（３）y= ;
解: （1）y′=
=
=
（2）y′= •（x＋ ）′
= （1＋ ）=
（３）y′= =
◆提炼方法：题（1）是导数的四则运算法则；铨（2）（3）是复合函数的求导方法.都是导数问题的基础.
【例2】（1）求曲线 在点（1，1）处的切线方程；
（2）运动曲线方程为 ，求t=3时的速度
分析：根据导数的几何意义及导数的物理意义可知，函数y=f(x)在 处的导数就是曲线y=f(x)在点 处的切线的斜率 瞬时速度是位移函数S(t)对时间的导数
解：（1） ，
，即曲线在点（1，1）处的切线斜率k=0
因此曲线 在（1，1）处的切线方程为y=1
（2）
解题点评:切线是导数的“几何形象”,是函数单调性的“几何”解释,要熟练掌握求切线方程的方法.
【例3】若f（x）在R上可导，（1）求f（－x）在x=a处的导数与f（x）在x=－a处的导数的关系；（2）证明：若f（x）为偶函数，则f′（x）为奇函数.
分析:（1）需求f（－x）在x=a处的导数与f（x）在x=－a处的导数；（2）求f′（x），然后判断其奇偶性.
（1）解:设f（－x）=g（x）,则
g′（a）=
=
=－ =－f′（－a）
∴f（－x）在x=a处的导数与f（x）在x=－a处的导数互为相反数.
（2）证明:f′（－x）=
=
=－ =－f′（x）
∴f′（x）为奇函数.
解题点注:用导数的定义求导数时，要注意Δy中自变量的变化量应与Δx一致.
【例4】（2006浙江）已知函数 ＝x3+x2，数列 { xn } （xn > 0）的第一项x1＝1，以后各项按如下方式取定：曲线y＝ 在 处的切线与经过（0，0）和（xn，f（xn））两点的直线平行（如图）。求证：当n 时：
（I） ；（II）
证明：（I）∵
∴曲线 在 处的切线斜率
∵过 和 两点的直线斜率是
∴ .
（II）∵函数 当 时单调递增，
而
，
∴ ，即
因此
又∵
令 则
∵ ∴
因此 故
考查知识：函数的导数、数列、不等式等基础知识，以及不等式的证明，同时考查逻辑推理能力。
五．提炼总结以为师
1．了解导数的概念，初步会用定义式解决一些问题；
2．会用定义式求导数；
3．了解导数的几何意义；会求切线方程；
4．掌握常见函数的导数公式，并会正确运用；
5．掌握导数的四则运算法则及复合函数的求导法则。
同步练习 11.3导数概念与运算
【选择题】
1.设函数f（x）在x=x0处可导,则 （ ）
A与x0,h都有关 B仅与x0有关而与h无关
C仅与h有关而与x0无关 D与x0、h均无关
2.已知函数f（x）在x=1处的导数为3,则f（x）的解析式可能为 （ ）
Af（x）=（x－1）2+3（x－1） Bf（x）=2（x－1）
Cf（x）=2（x－1）2 Df（x）=x－1
3．(2005湖北)在函数 的图象上，其切线的倾斜角小于 的点中，坐标为整数的点的个数是（ ）
A．3B．2C．1D．0
4.(2006安徽)若曲线 的一条切线 与直线 垂直，则 的方程为（ ）
A． B． C． D．
【填空题】
5. 一点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的距离为 ，那么速度为零的时刻是 ________
6．过点（0，－4）与曲线y＝x3＋x－2相切的直线方程是 ．
7. 设f（x）在x=1处连续，且f（1）=0, =2,则f′（1）=_______
8.曲线y=2－ x2与y= x3－2在交点处的切线夹角是__________（以弧度数作答）
简答.提示：1－4.BADA；5. 1，2，4秒末；
6．y＝4x－4；7.∵f（1）=0, =2,
∴f′（1）= = = =2
8.由消y得：（x－2）（x2+4x+8）=0,∴x=2
∵y′=（2－ x2）′=－x,∴y′|x=2=－2
又y′=（ －2）′= x2,∴当x=2时,y′=3
∴两曲线在交点处的切线斜率分别为－2、3,
| |=1 ∴夹角为
【解答题】
9．下列函数的导数
①
②
③f（x）=e－x（cosx+sinx）
分析：利用导数的四则运算求导数
①法一：
∴
法二：
= +
②
∴
③f/(x)=－e－x（cosx+sinx）+e－x（－sinx+cosx）
=－2e－xsinx,
10． 如果曲线 的某一切线与直线 平行，求切点坐标与切线方程．
解： 切线与直线 平行， 斜率为4
又切线在点 的斜率为
∵ ∴
或
∴切点为（1，-8）或（-1，-12）
切线方程为 或
即 或
11．(2005福建) 已知函数
的图象过点P（0，2），且在点M（－1，f（－1））处的切线方程为 ．
（Ⅰ）求函数y=f(x)的解析式；
（Ⅱ）求函数y=f(x)的单调区间．
解：（Ⅰ）由f(x)的图象经过P（0，2），知d=2，
所以
由在M(-1,f(-1))处的切线方程是 ，知
故所求的解析式是
（Ⅱ）
解得
当
当
故 内是增函数，在 内是减函数，在 内是增函数．
考查知识：函数的单调性、导数的应用等知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力．
12. 证明：过抛物线y=a（x－x1）•（x－x2）（a≠0，x1
y′| =a（x1－x2），即kA=a（x1－x2），y′| =a（x2－x1），即kB=a（x2－x1）.
设两条切线与x轴所成的锐角为 、β，则tan =|kA|=|a（x1－x2）|，
tanβ=|kB|=|a（x2－x1）|，故tan =tanβ.
又 、β是锐角，则 =β.