2011届高考数学考点知识专题总复习函数与导数的综合应用
详细内容
课时考点3 函数与导数的综合应用
高考考纲透析：
利用导数研究函数的单调性和极值、函数的最大值和最小值。
高考风向标：
函数与方程、不等式知识相结合是高考热点与难点。利用分类讨论的思想方法论证或判断函数的单调性，函数的极值、最值，函数与导数的综合题必是高考题中六个解答题之一。
热点题型1：导函数与恒不等式
已知向量 在区间（－1，1）上是增函数，
求t的取值范围.
解法1：依定义
开口向上的抛物线，故要使 在区间
（－1，1）上恒成立
.
解法2：依定义
的图象是开口向下的抛物线，
变式新题型1：
已知函数 ，（1）若 在实数R上单调递增，求 的取值范围；
（2）是否存在这样的实数 ，使 在 上单调递减，若存在，求出 的取值范围；若不存在，请说明理由。
解题分析：本题应注意检验，第一小题需验证 是否符合，第二小题需验证 是否符合？
热点题型2：导函数的极值与分类讨论
(理科) 已知 ，讨论函数 的极值点的个数.
（1）当
x
x1
+0－0+
为极大值
为极小值
即此时 有两个极值点.
（2）当 有两个相同的实根
于是
无极值.
（3）
为增函数，此时 无极值. 因此当 无极值点.
（文科）设函数 R.
（1）若 处取得极值，求常数a的值；
（2）若 上为增函数，求a的取值范围.
解：（Ⅰ）
因 取得极值， 所以 解得
经检验知当 为极值点.
（Ⅱ）令
当 和 上为增
函数，故当 上为增函数.
当 上为增函数，从而 上也为增函数.
综上所述，当 上为增函数
变式新题型2：
已知函数 ，若函数 的一个极值点落在 轴上，求 的值。
解题分析：本题有三个未知量，极值点的横坐标 ，但只有两个方程 ，因此解出 是不可能的。只能从两方程中寻找出 的合理关系来解决问题。
热点题型3：导函数与转化的思想方法
（理科）已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝－ ax2＋bx，a≠0。
（Ⅰ）若b＝2，且h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；
（Ⅱ）设函数f(x)的图象C1与函数g(x)图象C2交于点P、Q，过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交C1，C2于点M、N，证明C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行。
解：（I） ，
则
因为函数h(x)存在单调递减区间，所以 <0有解
又因为x>0时，则ax2+2x－1>0有x>0的解.
①当a>0时，y=ax2+2x－1为开口向上的抛物线，ax2+2x－1>0总有x>0的解；
②当a<0时，y=ax2+2x－1为开口向下的抛物线，而ax2+2x－1>0总有x>0的解；
则△=4+4a>0,且方程ax2+2x－1=0至少有一正根.此时，－1
（II）证法一 设点P、Q的坐标分别是（x1, y1），（x2, y2），0
C1在点M处的切线斜率为
C2在点N处的切线斜率为
假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，则k1=k2.
即 ，则
=
所以 设 则 ①
令 则
因为 时， ，所以 在 ）上单调递增. 故
则 . 这与①矛盾，假设不成立
故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行
证法二：同证法一得
因为 ，所以
令 ，得 ②
令
因为 ，所以 时，
故 在[1，+ 上单调递增.从而 ，即
于是 在[1，+ 上单调递增
故 即 这与②矛盾，假设不成立
故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行
变式新题型3：（文、理合用）
曲线 ，当 时， 有极小值，当 时， 有极大值，且在 处切线的斜率为 。（1）求 ；（2）是否存在一点P，使得 的图象关于点P中心对称？若存在，请求出点P坐标，并给出证明；若不存在，请说明理由。
解题分析：第一小题三个条件三个未知量，解方程就行。第二小题：曲线关于点对称可采用解析几何中求轨迹方程的一种方法??坐标代入法（相关点法），求出对称曲线方程，比较对应项系数相等求得点坐标；函数图象关于点P 中心对称，也可采用结论 对任意 恒成立，比较对应项系数相等求得点坐标。
备选题：
已知抛物线C1: y = x2 + 2x和C2 : y = ? x2 + a．如果直线l同时是C1和C2的切线，称l是C1和C2的公切线，公切线上两个切点之间的线段称为公切线段．
（Ⅰ）a取什么值时，C1和C2有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程；
（Ⅱ）若C1和C2有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分．
（Ⅰ）解：函数y = x2 + 2x的导数 = 2x + 2，
曲线C1在点P（x1， ）的切线方程是 ，
即 ．①
函数y = ? x2 + a的导数 = ? 2x，
曲线C2在点Q（x2， ）的切线方程是 ，
即 ．②
如果直线l是过P和Q的公切线，则①式和②式都是l的方程．
所以
消去x2得方程 ．
若判别式△= 4 ? 4 × 2（1 + a）= 0，即a = 时解得x1 = ，此时点P与Q重合．
即当a = 时C1和C2有且仅有一条公切线，由①得公切线方程为y = x ? ．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知，当a < 时C1和C2有两条公切线．设一条公切线上切点为P（x1，y1），Q（x2，y2），其中P在C1上，Q在C2上，则有x1 + x2 = ? 1，
y1 + y2 = = = ? 1 + a，
线段PQ的中点为 ．
同理，另一条公切线段 的中点也是 ．
所以公切线段PQ和 互相平分．